Question

已知拋物線D的頂點(diǎn)是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合．
（1）求拋物線D的方程；
（2）已知直線l過點(diǎn)P（4，0）交拋物線于A，B兩點(diǎn)，是否存在垂直于x軸的直線x=m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出直線x=m的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定橢圓的幾何量，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到拋物線D的方程；
（2）確定M的坐標(biāo)，過M作直線x=a的垂線，垂足為E，故|EG|²=|MG|²-|ME|²，由此即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0）
橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中a²-b²=4-3=1，得c=1，∴拋物線的焦點(diǎn)為（1，0），
∴

p

2

=1，∴p=2，
∴拋物線D的方程為y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），則圓心M（

x1+4

2

，

y1

2

），
過M作直線x=m的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓M的一個交點(diǎn)為G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，
即|EG|²=|MA|²-|ME|²=

(x1-4)2+y12

4

-（

x1+4

2

-m）²=

1

4

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+m（x₁+4）-m²
=（m-3）x₁+4m-m²，
當(dāng)m=3時，|EG|²=3，此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值2

3

因此存在直線x=3滿足題意．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長的計算，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解，屬于中檔題．