Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱CC₁中點
（1）求異面直線BC與AE所成角的余弦值；
（2）求證：AC∥平面B₁DE；
（3）求三棱錐A-B₁DE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）AD∥BC，可得∠DAE就是異面直線AE與BC所成角，解三角形即可求得結果；
（2）取BB₁的中點F，連接AF、CF、EF．可以證出四邊形B₁FCE是平行四邊形，從而CF∥B₁E；然后再證四邊形ADEF是平行四邊形，可得AF∥ED，結合面面平行的判定定理，得到平面ACF∥平面B₁DE． 最后利用面面平行的性質，得到AC∥面B₁DE；
（3）轉換底面，底為面ABD，高為EC，由體積公式求得三棱錐A-BDE的體積．

解答： （1）解：由題意，AD∥BC，
∴∠DAE就是異面直線AE與BC所成角，
在△RtADE中，由于DE=

5

，AD=2，可得AE=3
∴cos∠DAE=

AD

AE

=

2

3

；
（2）證明：取BB₁的中點F，連接AF、CF、EF．
∵E、F是C₁C、B₁B的中點，
∴CE∥B₁F且CE=B₁F
∴四邊形B₁FCE是平行四邊形，
∴CF∥B₁E．
∵正方形BB₁C₁C中，E、F是CC、BB的中點，
∴EF∥BC且EF=BC
又∵BC∥AD且BC=AD，
∴EF∥AD且EF=AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形，可得AF∥ED，
∵AF∩CF=C，BE∩ED=E，
∴平面ACF∥平面B₁DE．  又∵AC?平面ACF，
∴AC∥面B₁DE．
（3）解：∵AC∥面B₁DE
∴A到面B₁DE 的距離等于C到面B₁DE 的距離，
∴V_A-B1DE=V_C-B1DE=V_D-B1DC=

1

3

•

1

2

•1•2•2=

2

3

．

點評：本題以正方體為平臺，著重考查了空間直線與平面平行的判定與性質，考查異面直線所成角問題，求解方法一般是平移法，轉化為平面角問題來解決，體現了數形結合和轉化的思想．