經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點在軌跡上，且關(guān)于軸對稱，過線段（兩端點除外）上的任意一點作直線，使直線與軌跡在點處的切線平行，設(shè)直線與軌跡交于點.
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點到直線的距離等于，且的面積為20，求直線的方程.

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）.

解析試題分析：本題主要考查拋物線、圓、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，考查用代數(shù)法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.第一問，根據(jù)圓與直線相切列出表達(dá)式；第二問，把證明角相等轉(zhuǎn)化為證明兩個斜率之間的關(guān)系；第三問，找直線上的點的坐標(biāo)和直線的斜率，本問應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想.
試題解析：（1）設(shè)動圓圓心為，依題意得.
整理，得，所以軌跡的方程為.(2分)
（2）由（1）得，即，則.
設(shè)點，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為，
由題意知點，設(shè)點，
則，
即.
因為，，
由于，即，
所以.(6分)
（3）由點到的距離等于，可知，

不妨設(shè)點在上方（如圖），即，直線的方程為：.
由，解得點的坐標(biāo)為，
所以，
由（2）知，同理可得，
所以的面積，解得.
當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，，
直線的方程為，即.
當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，，
直線的方程為，即. (12分)
考點：1.圓、拋物線、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.斜率公式；3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；4.三角形面積公式.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為.從這個圓上任意一點向軸作垂線，為垂足.
（Ⅰ）求線段中點的軌跡方程；
（Ⅱ）已知直線與的軌跡相交于兩點，求的面積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點F在軸上，離心率，點在橢圓C上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為的直線交橢圓與、兩點，且、、成等差數(shù)列，點M（1,1），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線M： 的準(zhǔn)線過橢圓N： 的左焦點，以坐標(biāo)原點為圓心，以t（t>0）為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點A與點B，直線AB與x軸相交于點C.

（1）求拋物線M的方程.
（2）設(shè)點A的橫坐標(biāo)為x1，點C的橫坐標(biāo)為x2，曲線M上點D的橫坐標(biāo)為x1+2，求直線CD的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點，是拋物線上相異兩點，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經(jīng)過點，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點，求的面積的最大值及此時直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，動點到兩點，的距離之和等于，設(shè)點的軌跡為曲線，直線過點且與曲線交于，兩點．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）是否存在△面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的長軸長為4，且過點．
（１）求橢圓的方程；
（２）設(shè)、、是橢圓上的三點，若，點為線段的中點，、兩點的坐標(biāo)分別為、，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，且過點.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與圓相切的直線交拋物線于不同的兩點若拋物線上一點滿足，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知動圓C經(jīng)過點，且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點的直線m交曲線E于A，B兩點，過A，B兩點分別作曲線E的切線，兩切線交于點C，當(dāng)△ABC的面積為時，求直線m的方程.

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