Question

（2013•肇慶一模）已知圓C的方程為x²+y²+2x-7=0，圓心C關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為A，P是圓上任一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l交PC于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)Q的軌跡L的方程；
（2）過點(diǎn)B（1，

1

2

）能否作出直線l₂，使l₂與軌跡L交于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是線段MN的中點(diǎn)，若這樣的直線l₂存在，請求出它的方程和M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)Q是線段AP的垂直平分線l與CP的交點(diǎn)，可得|QP|=QA|．又|PQ|+|QC|=2

2

，可得|QA|+|QC|=2

2

＞AC=2．利用橢圓的定義可知點(diǎn)Q的軌跡L為橢圓；
（2）假設(shè)直線l₂存在，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），分別代入

x2

2

+y2=1，利用“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率公式即可得出直線l₂的方程；與橢圓方程聯(lián)立即可解得交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，由已知圓C的方程x²+y²+2x-7=0，化為（x+1）²+y²=8，可得圓心C（-1，0），半徑r=2

2

，點(diǎn)A（1，0）．
∵點(diǎn)Q是線段AP的垂直平分線l與CP的交點(diǎn)，∴|QP|=QA|．
又∵|PQ|+|QC|=2

2

，∴|QA|+|QC|=2

2

＞AC=2．
∴點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)為中心，C，A為焦點(diǎn)的橢圓，
∵c=1，a=

2

，∴b=

a2-c2

=1，
∴點(diǎn)Q的軌跡L的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）假設(shè)直線l₂存在，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），分別代入

x2

2

+y2=1得

x 2 1 2 + y 2 1 =1 x 2 2 2 + y 2 2 =1

，
兩式相減得

(x1-x2)(x1+x2)

2

=-(y1-y2)(y1+y2)，即

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

×

x1+x2

y1+y2

．
由題意，得x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
∴

y1-y2

x1-x2

=-1，即k_MN=-1．
∴直線l₂的方程為y=-x+

3

2

．
由

x2 2 +y2=1 y=-x+ 3 2

得6x²-12x+5=0．
∵點(diǎn)B在橢圓L內(nèi)，
∴直線l₂的方程為y=-x+

3

2

，它與軌跡L存在兩個交點(diǎn)，
解方程6x²-12x+5=0得x=1±

6

6

．
當(dāng)x=1+

6

6

時，y=

1

2

-

6

6

；當(dāng)x=1-

6

6

時，y=

1

2

+

6

6

．
所以，兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1+

6

6

，

1

2

-

6

6

)和(1-

6

6

，

1

2

+

6

6

)．

點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力．