Question

平面向量

a

，

b

，

e

滿足|

e

|=1，

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，|

a

-

b

|=2，則

a

•

b

的最小值為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  5

  4

• C、1
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂）．不妨取

e

=（1，0）．由于平面向量

a

，

b

，

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，可得

a

=（1，y₁），

b

=（2，y₂）．由于|

a

-

b

|=2，可得(y1-y2)2=3．只考慮y₁y₂＜0．不妨取y₂＞0，y₁＜0．利用基數(shù)量積運(yùn)算、本不等式可得

a

•

b

=2+y₁y₂=2-（-y₁）y₂≥2-(

-y1+y2

2

)2即可得出．

解答： 解：設(shè)

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂）．
∵

e

滿足|

e

|=1，∴不妨取

e

=（1，0）．
∵平面向量

a

，

b

，

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，
∴x₁=1，x₂=2．
∴

a

=（1，y₁），

b

=（2，y₂）．
∵|

a

-

b

|=2，∴

1+(y1-y2)2

=2，化為(y1-y2)2=3．
只考慮y₁y₂＜0．不妨取y₂＞0，y₁＜0．
∴

a

•

b

=2+y₁y₂=2-（-y₁）y₂≥2-(

-y1+y2

2

)2=

5

4

，當(dāng)且僅當(dāng)-y₁=y₂=

3

2

時(shí)取等號(hào)．
∴

a

•

b

的最小值為

5

4

．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．