Question

已知二次函數(shù)y=x²-4x+5，分別求下列條件下函數(shù)的值域：
（1）x∈[-1，0]；
（2）x∈（1，3）；
（3）x∈（4，5]．

Answer 1

解：由題意得，y=x²-4x+5=（x-2）²+1，關(guān)于x=2對(duì)稱，如圖：

（1）由圖得，函數(shù)在[-1，0]上遞減，
則當(dāng)x=0時(shí)，y=5．當(dāng)x=-1時(shí)，y=10．
即當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，y∈[5，10]．
（2）由圖得，函數(shù)在（1，2]上遞減，（2，3）上遞增，
則x∈（1，3）時(shí)，x=2時(shí)，y最小值為1．
當(dāng)x=1或x=3時(shí)，y=2．
又∵x∈（1，3），∴點(diǎn)（1，2），（3，2）為虛點(diǎn)．
∴當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，y∈[1，2）．
（3）由圖得，函數(shù)在（4，5]上遞增，
當(dāng)x∈（4，5]時(shí)，x=4時(shí)，對(duì)應(yīng)值y=5，（4，5）為虛點(diǎn)．
當(dāng)x=5時(shí)，y=10，（5，10）為實(shí)點(diǎn)．
∴當(dāng)x∈（4，5]時(shí)，y∈（5，10]．
分析：先對(duì)解析式配方后求出對(duì)稱軸并畫(huà)出圖象，
（1）由圖判斷出函數(shù)在[-1，0]上遞減，再求出最大值和最小值，寫(xiě)出函數(shù)的值域即可；
（2）由圖判斷出函數(shù)在（1，3）上單調(diào)性，再求出最大值和最小值，寫(xiě)出函數(shù)的值域即可；
（3）由圖判斷出函數(shù)在（4，5]上遞減，再求出最大值和最小值，寫(xiě)出函數(shù)的值域即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性以及最值的應(yīng)用，利用配方法化簡(jiǎn)解析式再畫(huà)出圖象，注意區(qū)間的開(kāi)或閉．