【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若a>0,設是函數(shù)
圖象上的任意兩點
,記直線AB的斜率為k,求證:
.
【答案】(1)(i)當時,
的單增區(qū)間為
,無單減區(qū)間.
(ii)當時,
的單增區(qū)間為
,
,
單減區(qū)間為.
(iii)當時,
的單增區(qū)間為
,單減區(qū)間為
.
(2)見解析.
【解析】
試題(1)首先求出函數(shù)的導數(shù)
,注意到函數(shù)
的定義域是
;不等式
,故只需按
的正,負和零分別討論,在討論的過程中當
的情形注意再按兩根的大小討論即可求得函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間.
(2)先求得,再將直線AB的斜率為
用
表示出來得到
,然后用比差法求得
注意到
,故欲證
,只須證明:
因為
,故即證:
,
令,構造函數(shù)
,再利用導數(shù)證明
在
上是增函數(shù),從而可得
,進而得所證不等式成立.
試題解析:(1)解:1分
(i)當時,
恒成立,即
恒成立,
故函數(shù)的單增區(qū)間為
,無單減區(qū)間. 2分
(ii)當時,
,
解得:
∵,∴函數(shù)
的單增區(qū)間為
,
,
單減區(qū)間為. 4分
(iii)當時,由
解得:
.
∵,而此時
,∴函數(shù)
的單增區(qū)間為
,
單減區(qū)間為. 6分
綜上所述:
(i)當時,
的單增區(qū)間為
,無單減區(qū)間.
(ii)當時,
的單增區(qū)間為
,
,
單減區(qū)間為.
(iii)當時,
的單增區(qū)間為
,單減區(qū)間為
. 7分
(2)證明:
由題,
則:
9分
注意到,故欲證
,只須證明:
. 10分
因為,故即證:
11分
令,
12分
則:故
在
上單調(diào)遞增.
所以:13分
即:,即:
所以:
. 14分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的左右頂點為A、B,右焦點為F,一條準線方程是
,短軸一端點與兩焦點構成等邊三角形,點P、Q為橢圓C上異于A、B的兩點,點R為PQ的中點
求橢圓C的標準方程;
直線PB交直線
于點M,記直線PA的斜率為
,直線FM的斜率為
,求證:
為定值;
若
,求直線AR的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)學的對稱美在中國傳統(tǒng)文化中多有體現(xiàn),譬如如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案,充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的和諧美.如果能夠?qū)A的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”,下列說法正確的是( )
A.對于任意一個圓,其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個
B.可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”
C.正弦函數(shù)可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”
D.函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)
的圖象是中心對稱圖形
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F.過F的直線與拋物線C交于A、B,與拋物線C的準線交于M.
(1)若|AF|=|FM|=4,求常數(shù)p的值;
(2)設拋物線C在點A、B處的切線相交于N,求動點N的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點是
,左右頂點是
,離心率是
,過
的直線與橢圓交于兩點P、Q(不是左、右頂點),且
的周長是
,
直線與
交于點M.
(1)求橢圓的方程;
(2)(ⅰ)求證直線與
交點M在一條定直線l上;
(ⅱ)N是定直線l上的一點,且PN平行于x軸,證明:是定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點.
(Ⅰ)證明: BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)設AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱錐C一A1DE的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設A,B,C,D為平面內(nèi)的四點,且A(1,3),B(2,–2),C(4,1).
(1)若,求D點的坐標;
(2)設向量,
,若k
–
與
+3
平行,求實數(shù)
的值.
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