Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，對一切正整數(shù)n，點（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=2^x+2-4的圖象上．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n•log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）要求數(shù)列的通項公式，當(dāng)n大于等于2時可根據(jù)數(shù)列的前n項的和減去數(shù)列的前n-1項的和求出，然后把n=1代入驗證；
（II）要求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．可先求出該數(shù)列的通項公式，列舉出數(shù)列的各項，然后利用錯位相減法得到數(shù)列的前n項的和即可．

解答：解：（I）由題意，S_n=2ⁿ⁺²-4，n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2³-4=4，也適合上式
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ⁺¹，n∈N^*；
（II）∵b_n=a_nlog₂a_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹①
2T_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²②
②-①得，T_n=-2³-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-23-

23(1-2n-1)

1-2

+(n+1)•2n+2
=-2³-2³（2^n-1-1）+（n+1）•2ⁿ⁺²=（n+1）•2ⁿ⁺²-2³•2^n-1
=（n+1）•2ⁿ⁺²-1ⁿ⁺²=n•2ⁿ⁺²．

點評：本題考查了利用做差法求數(shù)列通項公式，利用錯位相減法求數(shù)列的前n項的和，以及利用等比數(shù)列的前n項和的公式，學(xué)生做題時應(yīng)注意利用做差法時討論n的取值．