Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=-4x+22，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）存在k∈N^*，使得

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

＜k對任意n∈N^*恒成立，求出k的最小值；
（Ⅲ）是否存在m∈N^*，使得

am•am+1

am+2

為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f'（x）=-4x+22求出a=-2，b=22；代入可得S_n=-2n²+22n；再結(jié)合前n項(xiàng)和和通項(xiàng)之間的關(guān)系即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）先求出

Sn

n

=-2n+22=2(11-n)，知道當(dāng)n=10或n=11時(shí)，

S1

1

+

S2

2

++

Sn

n

有最大值是110，即可求出k的最小值；
（Ⅲ）先假設(shè)存在．再根據(jù)其是數(shù)列中的項(xiàng)，滿足數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出m的值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=ax²+bx（a≠0），所以f'（x）=2ax+b．
因?yàn)閒'（x）=-4x+22，所以a=-2，b=22．
所以f（x）=-2x²+22x．
因?yàn)辄c(diǎn)P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
所以S_n=-2n²+22n．當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=20，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-4n+24，
所以a_n=-4n+24（n∈N^*）．（4分）
（Ⅱ）存在k∈N^*，使得

S1

1

+

S2

2

++

Sn

n

＜k對任意n∈N^*恒成立．
只要k＞(

S1

1

+

S2

2

++

Sn

n

)max
由（Ⅰ）知S_n=-2n²+22n，
所以

Sn

n

=-2n+22=2(11-n)．
當(dāng)n＜11時(shí)，

Sn

n

＞0；當(dāng)n=11時(shí)，

Sn

n

=0；當(dāng)n＞11時(shí)，

Sn

n

＜0；
所以當(dāng)n=10或n=11時(shí)，

S1

1

+

S2

2

++

Sn

n

有最大值是110．
所以k＞110，又因?yàn)閗∈N^*，
所以k的最小值為111．（8分）
（Ⅲ）存在m∈N^*，使得

am•am+1

am+2

為數(shù)列a_n中的項(xiàng)．
由（Ⅰ）知a_n=24-4n，
所以a_m=24-4m，a_m+1=20-4m，a_m+2=16-4m，
所以

am•am+1

am+2

=

(24-4m)•(20-4m)

16-4m

=

4(6-m)(5-m)

4-m

．
令t=4-m（t≤3，t∈Z），
所以

am•am+1

am+2

=

4(6-m)(5-m)

4-m

=

4(2+t)(1+t)

t

=4(t+3+

2

t

)，
如果

am•am+1

am+2

是數(shù)列a_n中的項(xiàng)，那么t+3+

2

t

為小于等于5的整數(shù)，
所以t∈{-2，-1，1，2}．
當(dāng)t=1或t=2時(shí)，t+3+

2

t

=6，不合題意；
當(dāng)t=-1或t=-2時(shí)，t+3+

2

t

=0，符合題意．
所以，當(dāng)t=-1或t=-2時(shí)，即m=5或m=6時(shí)，

am•am+1

am+2

為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列和函數(shù)的綜合以及恒成立問題．考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是對知識和思想方法的綜合考查，屬于難題．