Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且滿足T_n=$\frac{3}{2}{s_n}$-3n，n∈N^*
（Ⅰ）求a₁的值．
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記b_n=$\frac{{2{a_n}}}{{{{（{a_n}-2）}^2}}}$，n∈N^*，求證：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1易得a₁的值 （Ⅱ）由T_n=$\frac{3}{2}{s_n}$-3n可得s_n，當(dāng)n≥2時(shí)a_n=${\;}_{{s}_{n}}$-s_n-1  （Ⅲ）首先驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)成立，當(dāng)n≥2時(shí)利用放縮法得證．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，${T_1}=\frac{3}{2}{S_1}-3$．因?yàn)門₁=S₁=a₁，所以${a_1}=\frac{3}{2}{a_1}-3$，解得a₁=6
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)${S_n}={T_n}-{T_{n-1}}=\frac{3}{2}{S_n}-3n-[{\frac{3}{2}{S_{n-1}}-3（{n-1}）}]=\frac{3}{2}{S_n}-\frac{3}{2}{S_{n-1}}-3$
所以${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-3$①，
${S_{n-1}}=\frac{3}{2}{a_{n-1}}-3$②，
由②-①得：a_n=3a_n-1，
所以數(shù)列{a_n}是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
所以${a_n}=6•{3^{n-1}}=2•{3^n}$．
（Ⅲ）當(dāng)n=1時(shí)，${b_1}=\frac{3}{4}＜1$；
當(dāng)n≥2時(shí)，${b_n}=\frac{{2{a_n}}}{{{{（{a_n}-2）}^2}}}=\frac{{4×{3^n}}}{{{{（2×{3^n}-2）}^2}}}=\frac{3^n}{{{{（{3^n}-1）}^2}}}＜\frac{3^n}{{（{{3^n}-1}）（{{3^n}-3}）}}=\frac{{{3^{n-1}}}}{{（{{3^n}-1}）（{{3^{n-1}}-1}）}}$
=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{{{3^{n-1}}-1}}-\frac{1}{{{3^n}-1}}}）$，
所以${b_1}+{b_2}+…+{b_n}＜{b_1}+\frac{1}{2}（{\frac{1}{{{3^1}-1}}-\frac{1}{{{3^2}-1}}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{{{3^2}-1}}-\frac{1}{{{3^3}-1}}}）+…+\frac{1}{2}（{\frac{1}{{{3^{n-1}}-1}}-\frac{1}{{{3^n}-1}}}）$=$\frac{3}{4}+\frac{1}{2}（{\frac{1}{3-1}-\frac{1}{{{3^n}-1}}}）＜1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列與不等式確定的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，會(huì)利用放縮法及裂相消法求數(shù)列的和，本題難度較大．