Question

（本小題滿分13分）已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點，離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，

求，滿足的關系式；

如圖，、為橢圓的左、右焦點，作，，垂足分別為、，四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），（2），（3），

【解析】

試題分析：先利用短半軸和離心率求出橢圓的標準方程，然后把直線和橢圓方程聯(lián)立方程組消去得關于

的一元二次方程，由于直線與橢圓只有一個公共點，因此判別式為零，求出，滿足的關系式；最后一步分別求出兩焦點到直線的距離，利用和直線的斜率表示的長，從而寫出梯形的面積，利用進行減元，用表示面積，最后根據(jù)，求出面積的最大值即可；

試題解析：(1)設橢圓的方程，，，所以橢圓C的方程為.

(2)(ⅰ)將直線的方程代入橢圓方程中得;

,由于直線與橢圓C僅有一個公共點知：

，化簡得：.

(ⅱ)設，當時，設直線的傾斜角為，則

，

，當時，

，又當時，四邊形為矩形，，所以四邊形面積的最大

值為.

考點：直線與橢圓問題