Question

在圓錐PO中，已知PO=2

2

，⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)C在底面圓周上，且∠CAB=30°，D為AC的中點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥平面POD；
（2）求點(diǎn)O到面PAD的距離．

Answer 1

分析：（1）先證AC⊥BC，AC⊥OD，再由線面垂直的判定定理證明AC⊥面POD；
（2）作OH⊥PD，垂足為H，可證 OH⊥面PAC，利用等面積法可求OH．

解答：（1）證明：∵PO⊥面ABC，且AC?面ABC∴AC⊥PO，
由于AB是直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC，
∵點(diǎn)O，D分別，AC的中點(diǎn)∴OD∥BC∴AC⊥OD，
又∵PO∩OD=O∴AC⊥面POD；
（2）由（1）知AC⊥面POD，又有AC?面PAC，
∴面PAC⊥面POD，
∵面PAC∩面POD=PD
作OH⊥PD，垂足為H，則有 OH⊥面PAC
從而OH⊥面PAD，
在Rt△POD中，PO=2

2

，OD=

1

2

BC=

1

4

AB=1，
∴PD=3，
∴OH=

PO•OD

PD

=

2 2

3

．

點(diǎn)評：本題考查了線面垂直的證明，考查了點(diǎn)面距離的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力．