Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c．滿足2acosC+ccosA=b．
（1）求C的大�。�
（2）求sinA+sinB的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，再由三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sin（A+C）=sinB，把化簡后的等式左邊再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，將sin（A+C）化為sinB，根據(jù)A和C為三角形的內(nèi)角，得到cosC為0，進(jìn)而得到C為直角；
（2）由（1）得到C為直角，可得A與B互余，用A表示出B，代入所求的式子sinA+sinB中，利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)A為銳角，得到這個角的范圍，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到所求式子的最大值．
解答：解：（1）由正弦定理及2acosC+ccosA=b得：
2sinAcosC+sinCcosA=sinB，
在△ABC中，A+B+C=π，
∴A+C=π-B，即sin（A+C）=sinB，
∴2sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）+sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB，
∴sinAcosC=0，又0＜A＜π，0＜C＜π，
∴sinA＞0，cosC=0，
則C=；
（2）由（1）得C=，則有A+B=，即B=-A，
∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），
又0＜A＜，∴＜A+＜，
則當(dāng)A+=，即A=時，sinA+sinB取得最大值，最大值為．
點評：此題考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域及值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，正弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，故利用正弦定理化簡已知的等式是本題的突破點．