Question

（2010•宿州三模）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn，a1=1，an=

Sn

n

+2(n-1)(n∈N+)．
（1）求證：數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，證明：

1

5

≤Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由題意：na_n=S_n+2n（n-1），將a_n=S_n-S_n-1代換可得（n-1）S_n-nS_n-1=2n（n-1），變形得

Sn

n

-

Sn-1

n-1

=2，從而數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列；
（2）先求出S_n，然后根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求出a_n，然后利用裂項求和法求出T_n，根據(jù)T_n為增函數(shù)，可求出T_n為的范圍．

解答：解：（1）證明：由題意：na_n=S_n+2n（n-1），∴n（S_n-S_n-1）=S_n+2n（n-1）（n∈N₊，n≥2）…（2分）
即：（n-1）S_n-nS_n-1=2n（n-1），∴

Sn

n

-

Sn-1

n-1

=2，
所以數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列；                                             …（6分）
（2）由（1）得：

Sn

n

=1+(n-1)×2，∴S_n=2n²-n，
∴a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-2（n-1）²+（n-1）=4n-3，（n∈N₊，n≥2）…（8分）

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)
∴Tn=

1

4

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…

1

4n-3

-

1

4n+1

)=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

，…（10分）
又T_n為增函數(shù)，∴Tn≥T1=

1

5

，∴

1

5

≤Tn＜

1

4

…（13分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的判定，以及利用裂項求和法進行求和，同時考查了利用單調(diào)性求范圍等有關(guān)知識，屬于中檔題．