Question

13．角α和β的頂點為平面直角坐標系的原點，始邊都與x軸的正半軸重合，終邊分別與單位圓（半徑為1）相交于點P、Q兩點，已知Q點也在射線y=-$\frac{4}{3}$x（x＜0）上．
（1）求點Q的坐標；
（2）如圖，若∠QOP=$\frac{3π}{4}$，寫出角α，β的等量關(guān)系．并求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由Q點在射線y=-$\frac{4}{3}$x（x＜0）上，可得：tanβ=-$\frac{4}{3}$，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，可得β的兩弦值，進而得到Q的坐標；
（2）若∠QOP=$\frac{3π}{4}$，則角α與β+$\frac{3π}{4}$的終邊垂直，進而可得角α，β的等量關(guān)系，結(jié)合誘導公式和兩角和的正余弦公式，求出α的兩弦值，進而得到P的坐標；

解答 解（1）∵Q點在射線y=-$\frac{4}{3}$x（x＜0）上，
故tanβ=-$\frac{4}{3}$，
故cosβ=-$\sqrt{\frac{1}{1+{tan}^{2}β}}$=$-\frac{3}{5}$，sinβ=tanβ•cosβ=$\frac{4}{5}$，
故Q點坐標為：（$-\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
（2）∵∠QOP=$\frac{3π}{4}$，
∴α=β+$\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z，
則cosα=cos（β+$\frac{3π}{4}$+2kπ）=cos（β+$\frac{3π}{4}$）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$cosβ$-\frac{\sqrt{2}}{2}$sinβ=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
sinα=sin（β+$\frac{3π}{4}$+2kπ）=sin（β+$\frac{3π}{4}$）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$sinβ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosβ=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
故P點的坐標為：（-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$）

點評 本題考查的知識點是三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導公式和兩角和的正余弦公式，難度中檔．