Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，點(diǎn)M在邊DC上，點(diǎn)F在邊AB上，且DF⊥AM，垂足為E，若將△ADM沿AM折起，使點(diǎn)D位于D′位置，連接D′B，D′C得四棱錐D′-ABCM．
（Ⅰ）求證：AM⊥D′F；
（Ⅱ）若∠D′EF=，直線D'F與平面ABCM所成角的大小為，求直線AD′與平面ABCM所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵AM⊥D′E，AM⊥EF，D′E∩⊥EF=E，
∴AM⊥面D′EF
∵D′F?面D′EF，
∴AM⊥D′F；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AM⊥面D′EF，AM?平面ABCM，
∴平面ABCM⊥面D′EF，
∴過D′作D′H⊥EF，則D′H⊥平面ABCM，
∴∠D′FH也就是∠D′FE是直線D'F與平面ABCM所成角，由已知，∠D′FE=，
并且∠D′AH是所求的直線AD′與平面ABCM所成角．
∵∠D′EF=，且∠D′FE=
在三角形△D′EF中，∵∠D′EF=，且∠D′FE=
所以是等邊三角形，∴D′E=EF，即DE=EF，∴△DAF是等腰三角形．
設(shè)AD=2，∴AF=2，EF=，四棱錐D′-ABCM的高D′H=
由于直線AD′與平面ABCM所成角為∠D′AH，∴sin∠D′AH==
分析：（Ⅰ）根據(jù)圖形折疊前后的關(guān)系，易證AM⊥面D′EF，得出AM⊥D′F．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AM⊥面D′EF，所以平面ABCM⊥面D′EF，過D′作D′H⊥EF，則D′H⊥平面ABCM，，∠D′FH是直線D'F與平面ABCM所成角，∠D′AH是直線AD′與平面ABCM所成角在直角三角形D′AH求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面位置關(guān)系的判斷，線面角求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算能力．