Question

20．已知定義在區(qū)間$[\;-π\(zhòng);，\;\frac{2}{3}π\(zhòng);]$上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{6}$對稱，當(dāng)$x∈[\;-\frac{π}{6}\;，\;\frac{2}{3}π\(zhòng);]$時(shí)，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）$（A＞0\;，\;ω＞0\;，\;-\frac{π}{2}＜ϕ＜\frac{π}{2}）$，其圖象如圖．
（1）求函數(shù)y=f（x）在$[\;-π\(zhòng);，\;\frac{2}{3}π\(zhòng);]$的表達(dá)式；
（2）求方程f（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的解．
（3）寫出不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集（不需要過程）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)$x∈[\;-\frac{π}{6}\;，\;\frac{2}{3}π\(zhòng);]$時(shí)，由觀察圖象易得A，T的值，由周期公式可求ω，由點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，1）在函數(shù)圖象上，結(jié)合φ范圍可求φ的值，
由函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{6}$對稱得，$x∈[\;-π\(zhòng);，\;-\frac{π}{6}\;]$時(shí)，函數(shù)f（x）=-sinx，即可得解．
（2）由（1）可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（x+\frac{π}{3}）\;\;\;\;x∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]\\-sinx\;\;\;\;\;\;\;\;\;x∈[-π，-\frac{π}{6}）\end{array}\right.$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，分類討論，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．
（3）由（1）可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（x+\frac{π}{3}）\;\;\;\;x∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]\\-sinx\;\;\;\;\;\;\;\;\;x∈[-π，-\frac{π}{6}）\end{array}\right.$$＞\frac{1}{2}$，分類討論，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）當(dāng)$x∈[\;-\frac{π}{6}\;，\;\frac{2}{3}π\(zhòng);]$時(shí)，
函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ）\;\;（A＞0\;，\;ω＞0\;，\;-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$，
觀察圖象易得：A=1，T=4（$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$）=$\frac{2π}{ω}$，可得：ω=1，
由點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，1）在函數(shù)圖象上，可得：sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，結(jié)合-$\frac{π}{2}≤$φ$≤\frac{π}{2}$范圍，可求φ=$\frac{π}{3}$，
即函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{3}）$，
由函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{6}$對稱得，$x∈[\;-π\(zhòng);，\;-\frac{π}{6}\;]$時(shí)，函數(shù)f（x）=-sinx．
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（x+\frac{π}{3}）\;\;\;\;x∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]\\-sinx\;\;\;\;\;\;\;\;\;x∈[-π，-\frac{π}{6}）\end{array}\right.$．
（2）∵由（1）可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（x+\frac{π}{3}）\;\;\;\;x∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]\\-sinx\;\;\;\;\;\;\;\;\;x∈[-π，-\frac{π}{6}）\end{array}\right.$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴當(dāng)$x∈[\;-\frac{π}{6}\;，\;\frac{2}{3}π\(zhòng);]$時(shí)，
由$sin（x+\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得，$x+\frac{π}{3}=\frac{π}{4}或\frac{3π}{4}⇒x=-\frac{π}{12}或x=\frac{5π}{12}$；
當(dāng)$x∈[\;-π\(zhòng);，\;-\frac{π}{6}\;]$時(shí)，由$-sinx=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得，$x=-\frac{3π}{4}或x=-\frac{π}{4}$．
∴方程$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的解集為$\{\;-\frac{3π}{4}\;，\;-\frac{π}{4}\;，\;-\frac{π}{12}\;，\;\frac{5π}{12}\;\}$．
（3）∵由（1）可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（x+\frac{π}{3}）\;\;\;\;x∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]\\-sinx\;\;\;\;\;\;\;\;\;x∈[-π，-\frac{π}{6}）\end{array}\right.$$＞\frac{1}{2}$，
∴不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集是：{x/-$\frac{5π}{6}$＜x＜$-\frac{π}{6}$，}∪{x/$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{5π}{6}$}．

點(diǎn)評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的化簡求值，屬于基本知識的考查．