Question

（本題滿分10分）對于正整數(shù)≥2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對于隨機選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的概率。（1）求和；（2）求證：對任意正整數(shù)≥2，有.

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】 [必做題]本小題主要考查概率的基本知識和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。

（1）因為方程有實數(shù)根，所以。

當(dāng)時，有，又b，故總有，此時a有種取法，b有n²種取法，所以共有組有序數(shù)組（a，b）滿足條件。

當(dāng)時，滿足的b有a²個，故共有組有序數(shù)組（a，b）滿足條件。

（2）我們只需證明：對于隨機選取的a，b，方程無實數(shù)根的概率。若方程無實數(shù)根，則，由。因此，滿足的有序數(shù)組（a，b）的組數(shù)小于，從而，方程無實數(shù)根的概率。所以。