Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C方程為為參數(shù)）
（Ⅰ）求過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與直線為參數(shù)）平行的直線l的普通方程．
（Ⅱ）求橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

解：（I）由，消去參數(shù)得：+=1
∴橢圓表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且a²=25，b²=9，得c==4
由此，得橢圓的右焦點(diǎn)為F（4，0），
又∵已知直線的參數(shù)方程可化為普通方程：x-2y+2=0，
∴所求直線的斜率，得直線方程為y=（x-4），化簡(jiǎn)得x-2y+4=0．
（II）設(shè)點(diǎn)A（x，y）是橢圓+=1上一點(diǎn)，
∴矩形ABCD面積S=4|xy|=60sinφcosφ=30sin2φ，
∵sin2φ≤1當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
∴橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積最大為30．
分析：（I）將橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得+=1，算出右焦點(diǎn)F（4，0），再將已知直線的斜率求出，得到所求直線l的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即得直線l的普通方程．
（II）設(shè)點(diǎn)A（x，y）是橢圓上一點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性得矩圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積S=4|xy|，代入?yún)��?shù)方程的數(shù)據(jù)并用二倍角三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)得S=30sin2φ，最后結(jié)合正弦函數(shù)的最值，不難得到S的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的參數(shù)方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)并求內(nèi)接矩形面積的最值，考查了橢圓的基本概念、直線的方程和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求最值等知識(shí)，屬于中檔題．