【題目】已知正項數(shù)列的前
項和為
,對任意
,點
都在函數(shù)
的圖象上.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列,求數(shù)列
的前
項和
;
(3)已知數(shù)列滿足
,若對任意
,存在
使得
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)由題意可得,由
時,
時,
,結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式,可得所求;
(2)求得,運用數(shù)列的錯位相減法求和,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,化簡可得所求和;
(3)求得,可令
為數(shù)列
的前
項和,運用數(shù)列的分組求和和裂項相消求和可得
,分別求得
,
的最大值,由不等式恒成立和存在性問題解法可得
的范圍.
解:(1)點都在函數(shù)
的圖象上,
可得,
時,
,解得
;
時,
,
化為,可得
,對
也成立,
則;
(2),
前項和
,
,
相減可得
,
化為;
(3)由,可令
為數(shù)列
的前n項和,
可得
,
由時,
,即有
,
可得,
又時,
的最大值為
,
對任意,存在
使得
成立,
則,解得
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱
底面ABCD,AB垂直于AD和BC,
,且
.M是棱SB的中點.
(Ⅰ)求證:面SCD;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點N是直線CD上的動點,MN與面SAB所成的角為,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)圖象在點
處的切線與
的圖象相切,求
的值;
(3)若函數(shù)存在兩個極值點
,
,且
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)全集I={1,2,3,4,5,6},集合A,B都是I的子集,若AB={1,3,5},則稱A,B為“理想配集”,記作(A,B),問這樣的“理想配集”(A,B)共有( )
A. 7個 B. 8個 C. 27個 D. 28個
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知平面上動點到點
距離比它到直線
距離少1.
(1)求動點的軌跡方程;
(2)記動點的軌跡為曲線
,過點
作直線
與曲線
交于
兩點,點
,延長
,
,與曲線
交于
,
兩點,若直線
,
的斜率分別為
,
,試探究
是否為定值?若為定值,請求出定值,若不為定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知
是橢圓
上的一點,從原點
向
圓作兩條切線,分別交橢圓于點
.
(1)若點在第一象限,且直線
互相垂直,求圓
的方程;
(2)若直線的斜率存在,并記為
,求
的值;
(3)試問是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)若不等式對任意
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】幾位大學生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款面向中學生的應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動。這款軟件的激活碼為下面數(shù)學題的答案:記集合.例如:
,若將集合
的各個元素之和設(shè)為該軟件的激活碼,則該激活碼應(yīng)為____________;
定義現(xiàn)指定
,將集合
的元素從小到大排列組成數(shù)列
,若將
的各項之和設(shè)為該軟件的激活碼,則該激活碼應(yīng)為_____________.
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