Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1)，平行于OM的直線(xiàn)在軸上的截距為，交橢圓于A(yíng)、B兩個(gè)不同點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求m的取值范圍；

（3）求證直線(xiàn)MA、MB與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）設(shè)直線(xiàn)MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，證明k₁＋k₂=0即可.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓方程為，

,則，∴橢圓方程.

（2）∵直線(xiàn)l平行于OM，且在軸上的截距為m,又 ,

∴l(xiāng)的方程為：,

由,

∵直線(xiàn)l與橢圓交于A(yíng)、B兩個(gè)不同點(diǎn)，

     

∴m的取值范圍是

（3）設(shè)直線(xiàn)MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁＋k₂=0即可

設(shè)

 可得

而

,

∴k₁＋k₂=0,故直線(xiàn)MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的性質(zhì).

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸思想的運(yùn)用，統(tǒng)籌運(yùn)算的能力．