拋物線在點，處的切線垂直相交于點，直線與橢圓相交于，兩點．

（1）求拋物線的焦點與橢圓的左焦點的距離；

（2）設(shè)點到直線的距離為，試問：是否存在直線，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．

 

【答案】

（1）;（2）不存在.

【解析】

試題分析：（1）分別求出拋物線與橢圓的焦點，利用兩點間距離公式求解；（2）設(shè)直線與拋物線相交于與橢圓相交于,,所以直線與拋物線方程聯(lián)立，得到和然后利用,求出切線，的斜率，利用切線垂直，,解出m,然后分別設(shè)出過點的切線方程，求出交點的坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式求,直線與曲線相交的弦長公式求,若，，成等比數(shù)列，則,化簡等式，通過看方程實根情況.

試題解析：（I）拋物線的焦點， 1分

橢圓的左焦點， 2分

則． 3分

（II）設(shè)直線，，，，，

由，得， 4分

故，．

由，得，

故切線，的斜率分別為，，

再由，得，

即，

故，這說明直線過拋物線的焦點． 7分

由，得，

,即． 8分

于是點到直線的距離. 9分

由，得， 10分

從而， 11分

同理，． 12分

若，，成等比數(shù)列，則， 13分

即，

化簡整理，得，此方程無實根，

所以不存在直線，使得，，成等比數(shù)列． 15分

考點：1.橢圓與拋物線的性質(zhì)；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.直線與曲線的交點問題；4.弦長公式.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y=x2+2x+b（x∈R）與坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過這三點的圓記為M．
（1）求實數(shù)b的取值范圍；
（2）設(shè)拋物線與x軸的交點從左到右分別為A、B，與y軸的交點為C，求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線l是拋物線在點A處的切線，試判斷直線l是否也是圓M的切線？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線C：x2=2py（p為正常數(shù)）的焦點為F，過F做一直線l交C于P，Q兩點，點O為坐標(biāo)原點．
（1）若△POQ的面積記為S，求
S2|PQ|
的值；
（2）若直線l垂直于y軸，過點Q做關(guān)于直線l的對稱的兩條直線l1，l2分別交拋物線C于M，N兩點，證明：直線MN斜率等于拋物線在點Q處的切線斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，圓C1：（x-a）2+y2=r2（r＞0）與拋物線C2：x2=2py（p＞0）的一個交點M（2，1），且拋物線在點M處的切線過圓心C1．
（Ⅰ）求C1和C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若點N為圓C1上的一動點，求
NC1
•
MC1
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•四川）已知a為正實數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線y=-x2+
an
2
與x軸正半軸相交于點A，設(shè)f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求對所有n都有
f(n)-1
f(n)+1
≥
n
n+1
成立的a的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜1時，比較
1
f(1)-f(2)
+
1
f(2)-f(4)
+…+
1
f(n)-f(2n)
與6•
f(1)-f(n+1)
f(0)-f(1)
的大小，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•四川）已知a為正實數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線y=-x2+
an
2
與x軸正半軸相交于點A，設(shè)f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求對所有n都有
f(n)-1
f(n)+1
≥
n3
n3+1
成立的a的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜1時，比較
n
k=1
1
f(k)-f(2k)
與
27
4
•
f(1)-f(n)
f(0)-f(1)
的大小，并說明理由．

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