Question

求滿足下列條件的曲線方程：
（1）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與雙曲線有公共漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）焦點(diǎn)在直線x+3y+15=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）據(jù)共漸近線的雙曲線的方程的一般形式設(shè)出雙曲線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出待定系數(shù)λ，即得到要求的雙曲線方程．
（3）分焦點(diǎn)在x軸和y軸兩種情況分別求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式可得答案．
解答：解：（1）依題意，可設(shè)橢圓的方程為 =1（m＞0，n＞0），則
∴橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，
∴且
∴m=15，n=5
∴經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)所求雙曲線的方程為 （λ≠0），
將點(diǎn)（-3，2）代入得λ=，
所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；
（3）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15；
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（-15，0），（0，-5）
當(dāng)焦點(diǎn)為（-15，0）時(shí)，即 =15，
∴p=30，此時(shí)拋物線方程為：y²=-60x：
當(dāng)焦點(diǎn)為（0，-5）時(shí)，即 =5，
∴p=10，此時(shí)拋物線方程為：x²=-20y；
故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=-60x 或x²=-20y．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．