Question

已知函數(shù)f(x)的導數(shù)滿足，常數(shù)α為方程f(x)＝x的實數(shù)根．

(1)．若函數(shù)f(x)的定義域為I，對任意，存在，使等式f(b)－f(a)＝成立，求證：方程f(x)＝x不存在異于α的實數(shù)根；

(2)．求證：當x＞α時，總有f(x)＜x成立；

(3)．對任意x₁，x₂，若滿足|x₁－α|＜1，|x₂－α|＜1，求證|f(x₁)－f(x₂)|＜2．

Answer 1

答案：
解析：

(1)．用反證法，設(shè)方程有異于的實根，即，不妨設(shè)，則，在與之間必存在一點c，， 　　由題意使等式成立，　　　　　　　　2分 　　因為，所以必有，但這與矛盾． 　　因此，如若也是方程的根，則必有，即方程不存在異于的實數(shù)根．　　　　4分 　　(2)．令，　　　　　　　　　　　　　　　　5分 　　，　　　　　　　　　　　　　　　　6分 　　為增函數(shù)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分 　　又當時，，即　　　　　　　　　　9分 　　(3)．不妨設(shè)，為增函數(shù)，即　　　　　　10分 　　又函數(shù)為減函數(shù)．　　　　　　　　　　　　　11分 　　即　　　　　　　　　　　　12分 　　即 　　∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分