Question

8．設左、右焦點分別為F₁，F₂的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，P為橢圓C上一點，且PF₂垂直于x軸，|PF₂|=$\frac{3}{2}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）過坐標原點O作兩條相互垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點，證明：直線AB與圓x²+y²=$\frac{12}{7}$相切．

Answer 1

分析 （1）根據條件$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，從而得到$c=\frac{a}{2}$，而由$\left\{\begin{array}{l}{x=c}\\{\frac{{x}^{2}}{a}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$得到$y=±\frac{\sqrt{3}}{2}b$，這樣根據$|P{F}_{2}|=\frac{3}{2}$即可得到b=$\sqrt{3}$，進一步可求出a，從而得出橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線AB的方程為y=kx+m，聯立橢圓的方程消去y便可得到：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，根據韋達定理即可得到${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．而根據OA⊥OB，便有x₁x₂+y₁y₂=0，這樣即可得到關于k，m的式子：7m²=12（k²+1），從而可求出原點O到直線AB的距離為圓${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$，從而得出直線AB與該圓相切．

解答 解：（1）橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
∴$c=\frac{a}{2}$；
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{x=c}\end{array}\right.$得：$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$；
∴$y=±\frac{\sqrt{3}}{2}b$；
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}b=\frac{3}{2}$；
∴$b=\sqrt{3}$；
${∴a}^{2}-{c}^{2}=\frac{3}{4}{a}^{2}=3$；
∴a²=4；
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設直線AB的方程為y=kx+m，聯立橢圓的方程消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0；
設A（x₁y₁），B（x₂，y₂）；
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$；
∵OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$；
∴x₁x₂+y₁y₂=0；
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+mk（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$；
∴$\frac{（1+{k}^{2}）（4{m}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}$$-\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}+{m}^{2}$=7m²-12k²-12=0；
∴7m²=12（k²+1）；
∴O到直線AB的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{\frac{12}{7}}$；
又圓${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$的半徑為$\sqrt{\frac{12}{7}}$；
∴直線AB與圓${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$相切．

點評 考查橢圓的標準方程，橢圓離心率的概念，橢圓焦點的概念，直線的點斜式方程，韋達定理，以及向量垂直的充要條件，點到直線的距離公式，圓的標準方程．