Question

（2013•遼寧一模）已知函數(shù)f（x）=ax²-x（a∈R，a≠0），g（x）=lnx
（1）判斷函數(shù)f（x）-g（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意求出y=f（x）-g（x）的解析式，進(jìn)而求出定義域，再求出導(dǎo)函數(shù)并整理，對(duì)a進(jìn)行分類：a＞0時(shí)和a＜0時(shí)，分別求出y′＞0和y′＜0對(duì)應(yīng)的x的范圍，即求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先由f（x）=g（x）分離a，即求出a的表達(dá)式，再構(gòu)造函數(shù)k（x）=

lnx+x

x2

，再求導(dǎo)判斷單調(diào)性以及最值和特殊函數(shù)值的符號(hào)，可得到函數(shù)圖象的大致形狀，再求出滿足條件的a的范圍．

解答：解：（1）由題意設(shè)y=f（x）-g（x）=ax²-x-lnx，（a≠0，x＞0），
∴y′=2ax-1-

1

x

=

2ax2-x-1

x

，
①當(dāng)a＞0時(shí)，令y′＞0得，2ax²-x-1＞0，解得x＞

1+ 1+8a

4a

，
令y′＜0得，2ax²-x-1＜0，解得0＜x＜

1+ 1+8a

4a

，
②當(dāng)a＜0時(shí)，令h（x）=2ax²-x-1，則對(duì)稱軸x=

1

4a

＜0，且h（0）=-1，
∴x＞0時(shí)，有y′＜0，
綜上所述：a＞0時(shí)，在（0，

1+ 1+8a

4a

）上遞減，在（

1+ 1+8a

4a

，+∞）上遞增，
a＜0時(shí)，在（0，+∞）上遞減．
（2）由f（x）=g（x）得，ax²-x=lnx（a≠0，x＞0），即a=

lnx+x

x2

令k（x）=

lnx+x

x2

，則k′（x）=

( 1 x +1)x2-2x(lnx+x)

x4

=

1-x-2lnx

x3

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，1-x-2lnx＞0，即k′（x）＞0，
∴k（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，且k（e^-1）=

-1+e-1

e-2

＜0，
當(dāng)x＞1時(shí)，1-x-2lnx＜0，即k′（x）＜0，
∴k（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且

lnx+x

x2

＞0，
∴k（x）在x=1處取得最大值k（1）=1，
故要是y=a和y=

lnx+x

x2

的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，只需0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求單調(diào)性和最值等綜合應(yīng)用，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和分離常數(shù)方法．