Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）設(shè)a≥1，函數(shù)g（x）=x²-3ax+2a²-5，若對于任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）由題意只需g（x）的值域是函數(shù)f（x）值域的子集即可．注意它們的定義域都是（0，1）．

解答 解：（1）顯然函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
且f′（x）=$\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$．
當(dāng)f′（x）＞0時，0＜x＜1，當(dāng)f′（x）＜0時，x＞1．
故f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．且f（x）_極大=f（1）=0，無極小值．
（2）由已知得g（x）=（x-$\frac{3a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}-5$．因為a≥1，所以$\frac{3a}{2}≥\frac{3}{2}$．
所以函數(shù)g（x）在（0，1）上遞減，故此時g（x）的值域為（2a²-3a-4，2a²-5），
由（1）知函數(shù)f（x）在（0，1）上遞增，且x→0時，lnx→-∞，f（1）=0．
所以此時f（x）的值域為（-∞，0]．
所以由題意可知：2a²-3a-4＜2a²-5≤0．結(jié)合a≥1
解得1$≤a≤\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及有恒成立問題的解題思路．屬于中檔題．