Question

（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分.）

      如題（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：

                             

（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程;

（Ⅱ）設(shè)d為點(diǎn)P到直線l： 的距離，若,求的值.

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解析:

本小題主要考查雙曲線的第一定義、第二定義及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了學(xué)生的運(yùn)算能力。

（I）由雙曲線的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長2a=2的雙曲線.

因此半焦距c=2，實(shí)半軸a=1，從而虛半軸b=,

所以雙曲線的方程為

(II)解法一：

由（I）及答（21）圖，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|²,       ①

知|PM|>|PN|,故P為雙曲線右支上的點(diǎn)，所以|PM|=|PN|+2.     ②

將②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以

|PN|=.

因?yàn)殡p曲線的離心率e==2,直線l:x=是雙曲線的右準(zhǔn)線，故=e=2,

所以d=|PN|,因此

解法二：

設(shè)P（x,y），因|PN|1知

|PM|=2|PN|²2|PN|>|PN|,

故P在雙曲線右支上，所以x1.

由雙曲線方程有y²=3x²-3.

因此

從而由|PM|=2|PN|²得

2x+1=2(4x²-4x+1)，即8x²-10x+1=0.

所以x=(舍去).

有|PM|=2x+1=

d=x-=.

故