解:(1)∵f(x
1+x
2)=f(x
1)+f(x
2),令x
1=x
2=0得f(0)=0.
再令x
1=x,x
2=-x,則f(0)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)為R上的奇函數(shù).
設(shè)x
1<x
2,則x
2-x
1>0,當(dāng)x>0時(shí)f(x)<0.
∴f(x
2-x
1)<0
由f(x
2)-f(x
1)=f(x
2)+f(-x
1)=f(x
2-x
1)<0,
∴f(x
2)<f(x
1)
∴f(x)為R上的減函數(shù).
(2)∵f(x)為R上的減函數(shù)
∴f(x)為[-4,4]上是減函數(shù)
∴f(x)的最大值為f(-4),最小值為f(4)
最小值f(4)=f(1+3)=f(1)+f(3)=4f(1)=-8
最大值f(-4)=-f(4)=8
(3)∵
f(bx
2)-f(x)>
f(b
2x)-f(b)
∴
∵f(
)=2f(
)∴
∴
∴bx
2-b
2x<2x-2b
∴bx
2-(2+b
2)x+2b<0,
若b=0,則{x|x>0};若b≠0,則b(x-
)(x-b)<0
當(dāng)-
<b<0時(shí),則{x|x<
或x>b}
當(dāng)b<-
時(shí),則{x|x<b或x>
}
當(dāng)0<b<
時(shí),則{x|b<x<
}
當(dāng)b>
時(shí),則{x|
}
分析:1)先求得f(x),令x=y=0,有f(0)=0,再令x
1=x,x
2=-x,即f(-x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).在R上任取x
1<x
2,則x
1-x
2<0,再比較f(x
1)和f(x
2)的大小,從而得出:f(x)是增函數(shù);
(2)由(1)可得f(x)為[-4,4]上是減函數(shù),則f(x)的最大值為f(-4),最小值為f(4),利用賦值法可求
(3)根據(jù)f(x)為R上的減函數(shù)也是奇函數(shù),原不等式可轉(zhuǎn)化為bx
2-(2+b
2)x+2b<0,解二次不等式可求x的范圍
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.