Question

15．已知三棱柱ABC=A₁B₁C₁的側(cè)棱BB₁⊥底面ABC，其側(cè)視圖與俯視圖如圖所示，AB=BC且AB⊥BC，M，N分別是A₁B，A₁C₁的中點．
（1）求證：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）求三棱錐B-A₁B₁N的體積．

Answer 1

分析 （1）連接BC₁，利用三角形的中位線定理可得：MN∥BC₁，再利用線面平行的判定定理可得：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）由側(cè)視圖與俯視圖可知：BB₁=2，B₁N=1，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得：A₁C₁=2=2A₁N．B₁N⊥A₁C₁．利用三棱錐B-A₁B₁N的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}N}$×BB₁即可得出．

解答 （1）證明：連接BC₁，
∵M，N分別是A₁B，A₁C₁的中點．
∴MN∥BC₁，
又MN?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁；
∴MN∥平面BCC₁B₁；
（2）解：由側(cè)視圖與俯視圖可知：BB₁=2，B₁N=1，
∵A₁B₁=B₁C₁且A₁B₁⊥B₁C₁，N是A₁C₁的中點，
∴A₁C₁=2=2A₁N．B₁N⊥A₁C₁．
∴三棱錐B-A₁B₁N的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}N}$×BB₁=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1$×2=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了三角形的中位線定理、線面平行與垂直的判定性質(zhì)定理、三視圖的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三棱錐體積計算公式、三棱柱的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．