Question

20．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O，D分別是AC，PC的中點，OP⊥底面ABC．
（1）求證：OD∥平面PAB；
（2）當k=$\frac{1}{2}$時，求直線PA與平面PBC所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據條件便可得到OD∥PA，從而根據線面平行的判定定理即可得出OD∥平面PAB；
（2）可連接OB，容易得到OB，OC，OP三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．可設AB=1，這樣根據條件即可求出圖形上一些點的坐標，從而得出向量$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BP}$的坐標，可設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，根據$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{m}$，若設直線PA與平面PBC所成角為θ，則根據sinθ=$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{BP}＞|$便可求出sinθ，進而便可得到直線PA與平面PBC所成角的大小．

解答 解：（1）點O，D分別是AC，PC的中點；
∴OD∥PA；
又PA?平面PAB；
∴OD∥平面PAB；
（2）連接OB，則OB⊥AC，又OP⊥底面ABC；
∴OB，OC，OP三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系：
設AB=1，則AC=$\sqrt{2}$，PA=2，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$OP=\frac{\sqrt{14}}{2}$，OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴可得到以下幾點坐標：
A（$0，-\frac{\sqrt{2}}{2}，0$），$P（0，0，\frac{\sqrt{14}}{2}），B（\frac{\sqrt{2}}{2}，0，0），C（0，\frac{\sqrt{2}}{2}，0）$；
∴$\overrightarrow{PA}=（0，-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{14}}{2}）$，$\overrightarrow{BC}=（-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，0），\overrightarrow{BP}=（-\frac{\sqrt{2}}{2}，0，\frac{\sqrt{14}}{2}）$；
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{14}}{2}z=0}\end{array}\right.$；
取x=1，則y=1，z=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，∴$\overrightarrow{m}=（1，1，\frac{\sqrt{7}}{7}）$；
設直線PA與平面PBC所成角為θ，則sinθ=$|cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{m}|}=\frac{\sqrt{2}}{2•\sqrt{\frac{15}{7}}}=\frac{\sqrt{210}}{30}$；
∴直線PA與平面PBC所成角的大小為$arcsin\frac{\sqrt{210}}{30}$．

點評 考查線面平行的判定定理，三角形中位線的性質，等腰三角形的中線也是高線，通過建立空間直角坐標系，利用空間向量解決直線和平面所成角問題的方法，平面法向量的概念，以及能求空間點的坐標，向量夾角的余弦公式的坐標運算．