Question

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值．

(1)討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；

(2)過點(diǎn)A(0,16)作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程．

Answer 1

解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，

f′(1)＝f′(－1)＝0，即，

解得a＝1，b＝0.

所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．

令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1.

若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，則f′(x)>0，

故f(x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)，

f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．

若x∈(－1,1)，則f′(x)<0，

故f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)．

所以f(－1)＝2是極大值，f(1)＝－2是極小值．

(2)曲線方程為y＝x3－3x，點(diǎn)A(0,16)不在曲線上．

設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0＝x－3x0.

因f′(x0)＝3(x－1)，

故切線方程為y－y0＝3(x－1)(x－x0)，

注意到點(diǎn)A(0,16)在切線上，

有16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)，

化簡(jiǎn)得x＝－8，解得x0＝－2.

所以，切點(diǎn)為M(－2，－2)，切線方程為9x－y＋16＝0.