Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為等腰直角三角形，且AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，M是側(cè)棱CC₁上一點(diǎn)，設(shè)MC=h．
（1）若BM⊥A₁C，求h的值；
（2）若直線AM與平面ABC所成的角為，求多面體ABM-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

解：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線AB、AC、AA₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則B（2，0，0），M（0，2，h），A₁（0，0，4），C（0，2，0）（2分）
，（2分）
由BM⊥A₁C得，，即2×2-4h=0
解得h=1（2分）
（2）由題意知，平面ABC的一個(gè)法向量為，（2分）
因?yàn)橹本�AM與平面ABC所成的角為，所以解得h=2（2分）
三棱錐M-ABC的體積
三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積V=S_△ABC•CC₁=8（2分）
所以多面體ABM-A₁B₁C₁的體積（2分）
分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線AB、AC、AA₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，利用，求h的值；
（2）直線AM與平面ABC所成的角為，多面體ABM-A₁B₁C₁的體積，就是三棱柱的體積減去三棱錐M-ABC的體積，求解即可．
點(diǎn)評：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，組合幾何體的面積、體積問題，直線與平面所成的角，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，是中檔題．