Question

2．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（-2，0），離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線l過點A，過O作l的平行線交橢圓C于P，Q兩點，如果以PQ為直徑的圓與直線l相切，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的焦點在x軸上，a=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，計算即得結論；
（Ⅱ）通過設直線l的方程，利用以PQ為直徑的圓與直線l相切，即$\frac{1}{2}$|PQ|與原點O到直線l的距離相等，計算即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意，橢圓的焦點在x軸上，
∵a=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴c=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，b²=a²-c²=$\frac{4}{3}$，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）依題意，直線l的斜率顯然存在且不為0，設l的斜率為k，
則可設直線l的方程為：y=k（x+2），
則原點O到直線l的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+3k²）x²=4，
可得P（$\frac{2}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$），Q（-$\frac{2}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$），
∵以PQ為直徑的圓與直線l相切，
∴$\frac{1}{2}$|PQ|=d，即|OP|=d，
∴（$\frac{2}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$）²+（$\frac{2k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$）²=（$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$）²，
解得：k=±1，
∴直線l的方程為x-y+2=0或x+y+2=0．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．