Question

已知{a_n}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．令bn=

4

a 2n+1 -1

（n∈N^*），記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，對任意的n∈N^*，不等式T_n＜

m

100

恒成立，則實數(shù)m的最小值是______．

Answer 1

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
則由a₃a₆=55，a₂+a₇=16，得：

(a1+2d)(a1+5d)=55 (a1+d)+(a1+6d)=16

，
即

(a1+2d)(a1+5d)=55① 2a1+7d=16             ②

，由②得：a1=

16-7d

2

③
把③代入①得：d²=4，所以d=-2或d=2．
因為{a_n}的公差大于0，所以，d=2，
則a1=

16-7×2

2

=1．
所以，a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
則a_n+1=2（n+1）-1=2n+1．
所以，bn=

4

an+12-1

=

4

(2n+1)2-1

=

4

4n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
則T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
由T_n＜

m

100

對任意n∈N^*恒成立，
得

n

n+1

＜

m

100

恒成立，
即m＞

100n

n+1

=

100

1+ 1 n

對任意n∈N^*恒成立，
所以，m≥100．
則實數(shù)m的最小值為100．
故答案為100．