Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式都成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），因?yàn)楹瘮?shù)在x=0處取極值，所以f'（0）=0求出a即可；
（2）把a(bǔ)=1代入求得f（x）的解析式，把f（x）代入方程中得．然后令，求出導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的增減性，得到b的取值范圍；
（3）求出f′（x）=0時(shí)x的值，討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值為f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0，然后取x=＞0，代入得到結(jié)論成立．
解答：解（1），∵x=0時(shí)，f（x）取得極值，
∴f'（0）=0，
故，解得a=1．經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意．
（2）由a=1知，得．
令，
則在[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
等價(jià)于φ（x）=0在[0，2]上恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，1]上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[1，2]上單調(diào)遞減；
依題意有，∴
（3）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定義域?yàn)閧x|x＞-1}．
由（1）知時(shí)，（舍去），
∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（0）為f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），
故ln（x+1）-x²-x≤0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）．
對(duì)任意正整數(shù)n，取得，．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，注意函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及會(huì)進(jìn)行不等式的證明．