Question

在平面直角坐標系xoy中，已知四點A（2，0），B（-2，0），C（0，-2），D（-2，-2），把坐標系平面沿y軸折為直二面角．
（1）求證：BC⊥AD；
（2）求三棱錐C-AOD的體積．

Answer 1

解：（1）【法一】∵BOCD為正方形，
∴BC⊥OD，∠AOB為二面角B-CO-A的平面角
∴AO⊥BO，∵AO⊥CO，且BO∩CO=O
∴AO⊥平面BCO，又BC⊆平面BCO
∴AO⊥BC，且DO∩AO=O
∴BC⊥平面ADO，且AD⊆平面ADO，∴BC⊥AD．


【法二】分別以O(shè)A，OC，OB為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則
設(shè)O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，0，2），C（0，2，0），D（0，2，2）；
有=（-2，2，2），=（-2，2，0），∴•=0，∴⊥，即BC⊥AD．
（2）三棱錐C-AOD的體積為：V_C-AOD=V_A-COD=•S_△COD•OA
=××2×2×2=．
分析：（1）【法一】要證異面直線BC⊥AD，須證BC⊥平面ADO，即證AO⊥BC，BC⊥OD，這是成立的；
【法二】建立空間直角坐標系，
由向量的數(shù)量積為0，得兩向量垂直．
（2）三棱錐的體積由體積公式V=•S_高•h可得．
點評：本題考查了空間中的垂直關(guān)系，可以直接證明線線垂直，得線面垂直；線面垂直，得線線垂直．用向量的數(shù)量積為0，證線線垂直更容易．求三棱錐的體積是關(guān)鍵是求底面積和高．