已知△ABC的三邊分別為a，b，c，面積S=（a-b+c）（a+b-c），b+c=8，則S的最大值為
 
．
考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理
專題：三角函數(shù)的求值
分析：利用三角形面積公式表示出S，利用余弦定理表示出cosA，將已知第一個(gè)等式右邊變形后，將表示出S與b2+c2-a2代入，整理后求出tan
A
2
的值，利用萬能公式求出sinA的值，再利用基本不等式求出ab的最大值，即可確定出S的最大值．
解答： 解：∵S=
1
2
bcsinA，cosA=
b2+c2-a2
2bc
，
∴S=（a-b+c）（a+b-c）=a2-（b-c）2=a2-b2+2bc-c2=-（b2+c2-a2）+2bc=-2bccosA+2bc=2bc（1-cosA）=
1
2
bcsinA，
整理得：2（1-cosA）=
1
2
sinA，即2（1-1+2sin2
A
2
）=4sin2
A
2
=sin
A
2
cos
A
2
，
整理得：tan
A
2
=
1
4
，
∴sinA=
2tan
A
2
1+tan2
A
2
=
2×
1
4
1+(
1
4
)2
=
8
17
，
∵ab≤（
a+b
2
）2，a+b=8，
∴ab≤16，
則Smax=
1
2
×16×
8
17
=
64
17
．
故答案為：
64
17
點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，以及三角函數(shù)的恒等變換，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

當(dāng)0＜x＜
π
2
時(shí)，函數(shù)f（x）=
3sin2x+1
tanxcos2x
的最小值為（　　）
A、2
B、2
3
C、4
D、4
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx（m∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx（m∈R）在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，則存在x0∈（a，b），使得f′（x0）=
f(b)-f(a)
b-a
．試用這個(gè)結(jié)論證明：若函數(shù)g（x）=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
（x-x1）+f（x1），（其中x2＞x1＞-1），則對(duì)任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）已知正數(shù)λ1，λ2滿足λ1+λ2=1，求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2，若x2＞x1＞-1時(shí)，都有f（λ1x1+λ2x2）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x，y滿足約束條件
x-2y+2≥0
x+y≥1
2x+y≤4
，則z=3x-2y的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tanα=2
（1）求
sinα+cosα
sinα-cosα
的值；
（2）求
1
2sinαcosα+cos2α
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75毫克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．從某自然保護(hù)區(qū)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測值數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）：
（Ⅰ）求空氣質(zhì)量為超標(biāo)的數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差；
（Ⅱ）從空氣質(zhì)量為二級(jí)的數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，求這2個(gè)數(shù)據(jù)的和小于100的概率；
（Ⅲ）以這12天的PM2.5日均值來估計(jì)2012年的空氣質(zhì)量情況，估計(jì)2012年（按366天算）中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求滿足下列條件的曲線方程：
（1）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=-2，求拋物線的方程；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的實(shí)軸長為4
3
，焦點(diǎn)到漸近線的距離為
3
，求雙曲線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊分別為a，b，c，函數(shù)f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA在x=
5π
12
處取得最大值．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最小值；
（Ⅱ）若sinB+sinC=
13
3
14
，a=7，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sinB+sinC=2sinA，3a=5c，則角B=
 
．

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