Question

直線L：y=kx+1與橢圓C：ax²+y²=2（a＞1）交于A、B兩點，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標原點）．
（1）若k=1，且四邊形OAPB為矩形，求a的值；
（2）若a=2，當k變化時（k∈R），求點P的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）聯(lián)立

y=x+1 ax2+y2=2

，得：（1+a）x²+2x-1=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出a=4．
（2）聯(lián)立

y=kx+1 2x2+y2=2

，得：（2+k²）x²+2kx-1=0，由此利用韋達定理和平面向量的運算法則能求出P點的軌跡方程．

解答： 解：（1）聯(lián)立

y=x+1 ax2+y2=2

，得：（1+a）x²+2x-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2=- 2 1+a x1x2=- 1 1+a

，
∴y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=

a-2

a+1

，
∵四邊形OAPB為矩形，∴OA⊥0B，
∴x₁x₂+y₁y₂=（-

2

1+a

）+

a-2

a+1

=0，
解得a=4．（6分）
（2）聯(lián)立

y=kx+1 2x2+y2=2

，
得：（2+k²）x²+2kx-1=0，
∵以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，
設P（x，y），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

2k

2+k2

，y₁+y₂=（kx₁+1）+（kx₂+1）=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

，
∴

x=x1+x2= -2k 2+k2 y=y1+y2= 4 k2+2

，∴k=-

2x

y

，
∴P點的軌跡方程為2x+ky=0．（12分）

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查點的軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．