Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，并且滿足a_n²，S_n，n成等差數(shù)列，a_n＞0（n∈N^*）．
（1）寫出a_n與a_n-1（n≥2）的關(guān)系并求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想{a_n}的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明；
（3）設(shè)x＞0，y＞0，且x+y=2，求（a_nx+2）²+（a_ny+2）²的最小值（用n表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得由①當n≥2時，②，兩式相減得數(shù)列的遞推關(guān)系式，分別令n=1，2，3，即可求出a₁，a₂，a₃值．
（2）猜想an=n，檢驗n=2時等式成立，假設(shè)n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．
（3）由于x＞0，y＞0，且x+y=2，a_n=n，利用基本不等式即可求出的最小值．
解答：解：（1）由①
可知，當n≥2時，②
①-②，得，即．（2分）
∵a_n＞0分別令n=1，2，3，得a₁=1，a₂=2，a₃=3．（4分）
（2）猜想：a_n=n，
1）當n=2時，結(jié)論顯然成立．
2）假設(shè)當n=k（k≥2）時，a_k=k．
那么當n=k+1時，+k²-1⇒[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
∵a_k+1＞0，k≥2，
∴a_k+1+（k-1）＞0，
∴a_k+1=k+1．
這就是說，當n=k+1時也成立，∴a_n=n（n≥2）．顯然n=1時，也適合．
故對于n∈N^*，均有a_n=n（9分）
（3）∵x＞0，y＞0，且x+y=2，a_n=n，
∴，
∴的最小值為2（n+2）²．（13分）
點評：本小題主要考查數(shù)學歸納法的應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．