Question

（2014•長寧區(qū)一模）如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都相等，M、E分別是AB和AB₁的中點，點F在BC上且滿足BF：FC=1：3．
（1）求證：BB₁∥平面EFM；
（2）求四面體M-BEF的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明：BB₁∥平面EFM；
（2）根據(jù)錐體的體積公式即可求四面體M-BEF的體積．

解答：解：（1）證明：連結(jié)EM、MF，
∵M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB₁的中點，
∴BB₁∥ME，
又BB₁?平面EFM，ME?平面EFM，
∴BB₁∥平面EFM．
（2）正三棱柱中B₁B⊥底面ABC，
由（1）BB₁∥ME，
∴ME⊥平面MBF，
根據(jù)條件得出BF=1，BM=2，∠MBF=60°，
∴S△BMF=

3

2

，
又EM=2，
因此VM-BEF=VE-MBF=

1

3

S△BMF•EM=

3

3

．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行的位置關(guān)系的判定，以及空間四面體的體積的計算，要求熟練掌握相應的判定定理和體積公式．