(2011•綿陽一模)己知函數(shù)f(x)=
a
x
-1(其中a是不為0的實數(shù)),g(x)=lnx,設(shè)F(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)判斷函數(shù)F(x)在(0,3]上的單調(diào)性;
(Ⅱ)已知s,t為正實數(shù),求證:ttex≥stet(其中e為自然對數(shù)的底數(shù));
(Ⅲ)是否存在實數(shù)m,使得函數(shù)y=f(
2a
x2+1
)+2m的圖象與函數(shù)y=g(x2+1)的圖象恰好有四個不同的交點?若存在,求出m的取值范圍,若不存在,說明理由.
分析:(I)求出F(x)的導(dǎo)函數(shù),通過對參數(shù)a的討論,判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號,進(jìn)一步得到函數(shù)的單調(diào)性.
(II)先求出當(dāng)a=1時F(x)的導(dǎo)函數(shù),通過導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值,得到F(
t
s
)
≥F(1)=0,整理不等式得到所要證的不等式.
(III)由已知得f(
2a
x2+1
)+2m=g(x2+1)
,分離出參數(shù)m,構(gòu)造函數(shù)h(x),通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性及極值,畫出函數(shù)h(x)的草圖,判斷出m的范圍.
解答:解:(Ⅰ)F(x)=
a
x
-1+lnx.
F′(x)=
x-a
x2
,
①當(dāng)a≤0時,F(xiàn)′(x)≥0,
∴F(x)在(0,3)上是增函數(shù);
②當(dāng)0<a<3時,x∈(0,a)時,F(xiàn)′(x)≤0,∴F(x)在(0,a)上是減函數(shù);
x∈(a,3)時,F(xiàn)′(x)≥0,∴F(x)在(a,3)上是增函數(shù).
③當(dāng)a≥3時,F(xiàn)′(x)≤0,∴F(x)在(0,3)上是減函數(shù).…(4分)
(Ⅱ)令a=1,則F(x)=
1
x
-1+lnx,于是F′(x)=
x-1
x2
,
∴F(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù).
∴在區(qū)間(0,+∞)上F(x)有F(x)min=F(1)=0.
F(
t
s
)
≥F(1)=0,
s
t
-1+ln
t
s
≥0
≥0,
整理得
t
s
e•e-
s
t
,即te
s
t
≥se
,即ttes≥stet.…(8分)
(III)由已知得f(
2a
x2+1
)+2m=g(x2+1)
,代入整理得m=
1
2
ln(x2+1)-
x2
4
+
1
4

于是題意即為直線y=m與y=
1
2
ln(x2+1)-
x2
4
+
1
4
的圖象有4個不同的交點.
令h(x)=
1
2
ln(x2+1)-
x2
4
+
1
4
,
h′(x)=
x(1-x)(1+x)
2(x2+1)

x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
h′(x) + 0 - 0 + 0 -
h(x) 極大值
1
2
ln2
極小值
1
4
極大值
1
2
ln2
可繪出h(x)的大致圖象如圖.
由圖象可知當(dāng)m∈(
1
4
1
2
ln2
)時滿足有四個不同的交點.
∴存在實數(shù)m∈(
1
4
,
1
2
ln2)
時滿足條件.…(14分)
點評:本題考查通過利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,若含參數(shù)一般需要討論;通過利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題及單調(diào)性,進(jìn)一步可畫出函數(shù)的草圖,解決兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題,屬于難題.
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1bn
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log
1
2
(3x-1)
的定義域為(  )

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