Question

已知函數(shù)f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]其中m∈R，且m＞0．
（1）若m＜1，求證：函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
（2）如果函數(shù)f（x）的值域是[0，2]，試求m的取值范圍．
（3）若m≥1，試求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)m＜1時(shí)，f（x）可去掉絕對(duì)值化簡(jiǎn)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明．
（2）先用導(dǎo)數(shù)求g（x）=x|x²-3|在x∈[0，+∞）上的值域，結(jié)合圖象，可得函數(shù)f（x）的值域是[0，2]時(shí)m的取值范圍．
（3）當(dāng)m≥1時(shí)，先求f（x）在[0，m]上的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性即可求得．

解答：證明：（1）當(dāng)m＜1時(shí)，f（x）=x（3-x²）=3x-x³．
因?yàn)閒′（x）=3-3x²=3（1-x²）＞0．
所以f（x）是增函數(shù)．
解：（2）令g（x）=x|x²-3|，x≥0．
則g（x）=

3x-x3，0≤x≤ 3 x3-3x，x＞ 3

，
當(dāng)0＜x＜

3

時(shí)，由g′（x）=3-3x²=0得x=1，
所以g（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，

3

]上是減函數(shù)．
當(dāng)x＞

3

時(shí)，g′（x）=3x²-3＞0，所以g（x）在[

3

，+∞）上是增函數(shù)．
所以當(dāng)x∈[0，

3

]時(shí)，函數(shù)g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（

3

）=0．
從而0＜m＜1不符合題意，1≤m≤

3

符合題意．
當(dāng)m＞

3

時(shí)，在x∈[0，

3

)時(shí)，f（x）∈[0，2]；
在x∈[

3

，m]時(shí)，f（x）∈[0，f（m）]．
這時(shí)f（x）的值域是[0，2]的充要條件是f（m）≤2，
即m³-3m≤2，（m-2）（m+1）²≤0，解得

3

＜m≤2．
綜上所述，m的取值范圍是[1，2]．
（3）由（2）知，當(dāng)1≤m≤2時(shí)，f（x）在[0，m]上的最大值為f（1）=2，最小值為f（0）=0，
∴f（x）在[0，m]上的值域?yàn)閇0，2]．
當(dāng)m＞2時(shí)，f（x）在[

3

，m]上單調(diào)遞增，
f(x)max=f(m)=m3-3m，
∴f（x）在[0，m]的值域?yàn)閇0，m³-3m]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明中的應(yīng)用，注意體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解答本題中的運(yùn)用．