Question

【題目】設圓的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（II）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ).

【解析】

試題（Ⅰ）利用橢圓定義求方程；（Ⅱ）把面積表示為關于斜率k的函數，再求最值．

試題解析：（Ⅰ）因為，，故，

所以，故.

又圓的標準方程為，從而，所以.

由題設得，，，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：

（）.

（Ⅱ）當與軸不垂直時，設的方程為，，.

由得.

則，.

所以.

過點且與垂直的直線：，到的距離為，所以

.故四邊形的面積

.

可得當與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為.

當與軸垂直時，其方程為，，，四邊形的面積為12.

綜上，四邊形面積的取值范圍為.