Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n是S_n和1的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=S₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

1

bnbn+1

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：T_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由已知條件得到S_n=2a_n-1，由此推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而得到an=2n-1，S_n=2ⁿ-1，進(jìn)而得到b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（II）由c_n=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，得T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

解答： （I）解：∵a_n是S_n和1的等差中項(xiàng)，∴S_n=2a_n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，即

an

an-1

=2，（3分）
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n-1，S_n=2ⁿ-1，（5分）
設(shè){b_n}的公差為d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（II）證明：c_n=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，（7分）
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)，（9分）
∵n∈N^*，∴Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法及不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．