已知函數(shù),,

(Ⅰ)若曲線與曲線相交,且在交點(diǎn)處有相同的切線,求的值及該切線的方程;

(Ⅱ)設(shè)函數(shù),當(dāng)存在最小值時(shí),求其最小值的解析式;

(Ⅲ)對(duì)(Ⅱ)中的,證明:當(dāng)時(shí), .

 

【答案】

(Ⅰ)a=, y-e= (x-e2)(II) (Ⅲ)利用函數(shù)的單調(diào)性證明

【解析】

試題分析:(Ⅰ)=,=(x>0),

由已知得 解得a=,x=e2,

∴兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2,e) 切線的斜率為k=f’(e2)=

∴切線的方程為 y-e= (x-e2)

(II)由條件知h(x)=–aln x(x>0),

(i)當(dāng)a>0時(shí),令解得

∴當(dāng)0 << 時(shí),在(0,)上遞減;

當(dāng)x>時(shí),上遞增.

上的唯一極值點(diǎn),且是極小值點(diǎn),從而也是最小值點(diǎn).

∴最小值

(ii)當(dāng)時(shí),在(0,+∞)上遞增,無(wú)最小值。

的最小值的解析式為

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

,令解得.

當(dāng)時(shí),,∴上遞增;

當(dāng)時(shí),,∴上遞減.

處取得最大值

上有且只有一個(gè)極值點(diǎn),所以也是的最大值.

∴當(dāng)時(shí),總有

考點(diǎn):本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng):導(dǎo)數(shù)本身是個(gè)解決問(wèn)題的工具,是高考必考內(nèi)容之一,高考往往結(jié)合函數(shù)甚至是實(shí)際問(wèn)題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,求單調(diào)、最值、完成證明等,請(qǐng)注意歸納常規(guī)方法和常見(jiàn)注意點(diǎn)

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-2x+c在x=-2時(shí)有極大值6,在x=1時(shí)有極小值,
(1)求a,b,c的值;
(2)求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2
3
a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3
,且f(
π
24
)=0

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的周期T和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若f(θ)=-3,且θ∈(-
24
π
24
)
,求θ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=asinx+bcosx+c的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)(
11π
6
,-1)

(Ⅰ)如果x=0時(shí),y=-
3
2
,求a,b,c.
(Ⅱ)如果將圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的
3
π
,然后將所得圖象向左平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x)的圖象,并且方程f(x)=3的所有正根依次成為一個(gè)公差為3的等差數(shù)列,求y=f(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-4,設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(xn,f(xn))處的切線與x軸的交點(diǎn)為(xn+1,0)(n∈N*),其中x1為正實(shí)數(shù).
(Ⅰ)用xn表示xn+1;
(Ⅱ)若x1=4,記an=lg
xn+2xn-2
,證明數(shù)列{an}成等比數(shù)列,并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)若x1=4,bn=xn-2,Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,證明Tn<3.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為(  )
A、f(x)=2sin(
1
2
x+
π
6
)
B、f(x)=2sin(
1
2
x-
π
6
)
C、f(x)=2sin(2x-
π
6
)
D、f(x)=2sin(2x+
π
6
)

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