離心率e=
5
-1
2
的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”，a，b，c分別表示橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距長，則滿足“優(yōu)美橢圓”的是（　�。�
分析：通過橢圓的離心率，構(gòu)造離心率的方程，然后推出a、b、c的關(guān)系，即可得到選項(xiàng)．
解答：解：因?yàn)殡x心率e=
5
-1
2
的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”，
所以e=
5
-1
2
是方程e2+e-1=0的正跟，
即有(
c
a
)2+
c
a
-1=0，
可得c2+ac-a2=0，又c2=a2-b2，
所以b2=ac．
即b是a，c的等比中項(xiàng)．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造法是解得本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c，0），p為橢圓E上任意一點(diǎn)．
（1）試證：若a、b、c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）若E為黃金橢圓；問：是否存在過點(diǎn)F，P的直線l；使l與y軸的交點(diǎn)R滿足
RP
=-2
PF
；若存在，求直線l的斜率K；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

我們稱離心率e=
5
-1
2
的橢圓叫做“黃金橢圓”，若
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)為黃金橢圓，以下四個(gè)命題：
（1）長半軸長a，短半軸長b，半焦距c成等比數(shù)列．
（2）一個(gè)長軸頂點(diǎn)與其不同側(cè)的焦點(diǎn)以及一個(gè)短軸頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形．
（3）以兩條通經(jīng)的4個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形．
（4）P、Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，M為PQ中點(diǎn)，只要PQ與OM的斜率存在，必有kPQ•kOM的定值．
其中正確命題的序號為
（1）（2）（3）（4）
（1）（2）（3）（4）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-c，0）、F2（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點(diǎn)．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）設(shè)E為“黃金橢圓”，問：是否存在過點(diǎn)F2、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿足
RP
=-2
PF2
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)E為“黃金橢圓”，點(diǎn)M是△PF1F2的內(nèi)心，連接PM并延長交F1F2于N，求
|PM|
|PN|
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點(diǎn)．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）沒E為黃金橢圓，問：是否存在過點(diǎn)F、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿足
RP
=-2
PF
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
（3）已知橢圓E的短軸長是2，點(diǎn)S（0，2），求使
SP
2取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c，0）（c＞0），則E為“黃金橢圓”是a，b，c成等比數(shù)列的（　　）

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