Question

△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，三邊長(zhǎng)a、b、c成等比數(shù)列．
（I）若，求證△ABC為正三角形；  
（II）若，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由a，b及c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到關(guān)于a，b及c的關(guān)系式，然后再利用余弦定理表示出cosB，把得到的關(guān)系式及cosB的值代入，化簡(jiǎn)整理后得到a=c，即三角形ABC為等腰三角形，再加上B為，即可得到三角形ABC為等邊三角形；
（II）由B的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理得到A+C的度數(shù)，用B表示出A，再利用正弦定理化簡(jiǎn)第一問(wèn)得到的關(guān)系式b²=ac，把B的度數(shù)及表示出的A代入，利用特殊角的三角形函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，接著再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，最后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，即可得到sin（2A+）的值．
解答：解：（I）由a、b、c成等比數(shù)列可得b²=ac，（2分）
若，由余弦定理，
可得，（3分）
即（a-c）²=0，所以a=c，又，
故△ABC為正三角形；（5分）
（II）由b²=ac及正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，（7分）
當(dāng)時(shí)，可得，
即=，（9分）
即，（11分）
所以，
故=．（13分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及定理，依據(jù)公式定理進(jìn)行準(zhǔn)確靈活變形是解本題的關(guān)鍵．