Question

（本小題滿分13分）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的2倍的橢圓經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）直線平行于，且與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).

（�。┤�為鈍角，求直線在軸上的截距m的取值范圍；

（ⅱ）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）利用直線MA、MB的傾斜角互補(bǔ)，

證明直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，

則 解得 

∴橢圓的方程為.             ………………………… 4分

（Ⅱ）（ⅰ）由直線平行于OM，得直線的斜率，

又在軸上的截距為m，所以的方程為. 

由 得.

又直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，

，于是. ……………… 6分

為鈍角等價(jià)于且，             

設(shè)，

，

由韋達(dá)定理，代入上式，

化簡整理得，即，故所求范圍是.

……………………………………………8分

（ⅱ）依題意可知，直線MA、MB的斜率存在，分別記為，.

由，.      ………………………………10分

而

. 

所以 , 故直線MA、MB的傾斜角互補(bǔ)，

故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．…………………… 13分

考點(diǎn)：本試題考查了橢圓的方程和直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評：對于解決解析幾何的方程問題，一般都是利用其性質(zhì)得到a,b,c的關(guān)系式，然后求解得到，而對于直線與橢圓的位置關(guān)系，通常利用設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合韋達(dá)定理，以及判別式來分析求解。尤其關(guān)注圖形的特點(diǎn)與斜率和向量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換，屬于難度題。