Question

14．求證不等式：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn．

Answer 1

分析 所證明的不等式的左側(cè)是n-1項，因此是對數(shù)表達(dá)式，聯(lián)想對數(shù)運(yùn)算法則：ln$\frac{M}{N}$=lnM-lnN，引入輔助函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，由導(dǎo)數(shù)證明其在[1，+∞）上為增函數(shù)，得到f（ $\frac{n}{n-1}$）＞0，即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，則數(shù)列不等式得證．

解答 證明：令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，則f′（x）=$\frac{-x-1+x}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
當(dāng)x≥1時，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴n≥2時：f（$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=ln$\frac{n}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn．

點評 本題考查了數(shù)列的求和，考查了利用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造出增函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，是難題．